Нелинейные системы - 4 курс, 7 семестр

Цели и задачи

Цель курса: познакомить слушателей с современными методами построения и решения нелинейных интегрируемых уравнений в частных производных и их разностных аналогов. Задачами данного курса являются формирование у слушателей ясного представления об основных принципах, лежащих в основе современной теории интегрируемых систем классической физики; освоение алгебраического и аналитического аппарата, позволяющего строить и анализировать классы точных решений солитонных уравнений, имеющих многочисленные и разнообразные применения в физике нелинейных явлений; ознакомление с некоторыми приложениями теории интегрируемых систем в математике и физике.

Программа

  1. Основные примеры нелинейных интегрируемых уравнений в частных производных ("солитонных уравнений"): уравнения КдФ, МКдФ, Синус-Гордон, Нелинейное уравнение Шредингера, цепочка Тоды, уравнение КП (Кадомцева-Петвиашвили), двумеризованная цепочка Тоды и др, их роль и значение в современной математической физике.
  2. Коммутационные представления солитонных уравнений: представление Лакса и нулевой кривизны.
  3. Алгебра псевдодифференциальных операторов, их основные свойства.
  4. Симметрии и бесконечный набор законов сохранения нелинейных интегрируемых уравнений. Иерархии интегрируемых нелинейных уравнений в частных производных. Построение высших симметрий для уравнения КдФ. Коэффициенты Гельфанда-Дикого.
  5. Гамильтоновы методы в теории солитонных уравнений. Первая и вторая гамильтоновы структуры. Иерархия гамильтоновых структур. Понятие классической r-матрицы.
  6. Метод обратной задачи рассеяния и его обобщения. Алгебро-геометрические методы построения точных решений. Понятие спектральной кривой и функции Бейкера-Ахиезера.
  7. Специальные классы решений: рациональные, солитонные, квазипериодические (конечнозонные).
  8. Динамика полюсов в точных решениях солитонных уравнений и интегрируемые системы частиц (Калоджеро-Мозера, Рейсенарса и их спиновые аналоги).
  9. Дополнительные (неабелевы) симметрии солитонных уравнений. Стационарные точки неабелевых симметрий. Свойство Пенлеве. Уравнения Пенлеве как автомодельные редукции нелинейных интегрируемых уравнений в частных производных.
  10. Понятие тау-функции интегрируемых иерархий солитонных уравнений. Билинейное тождество. Билинейный формализм Хироты.
  11. Билинейное разностное уравнение Хироты как универсальное производящее уравнение для иерархий солитонных уравнений и их редукций. Интегрируемые разностные аналоги солитонных уравнений. Т-системы, Y-системы и их приложения.
  12. Непрерывный (бездисперсионный) предел уравнения Хироты. Иерархия уравнений Уизема и их алгебро-геометрическая интерпретация.
  13. Формализм свободных фермионнов в теории нелинейных интегрируемых уравнений. Групповые элементы алгебры Клиффорда. Тау-функции как вакуумные средние. Вертексные операторы и бозон-фермионное соответствие.

Литература