Теория групп и представлений - 2 курс, 4 семестр
Цели и задачи
Цель курса - освоение студентами фундаментальных знаний в области теории групп, изучение различных групповых структур, порождающих симметрии в физических и математических задачах. Помимо самой теории групп и представлений курс предполагает введение в такие необходимые разделы математики как дифференциальная геометрия, тензорный анализ, а также элементы топологии и алгебраической геометрии. Основным критерием успешного освоения курса является формирование базовых знаний в области дифференциальной геометрии и теории групп и алгебр Ли. На следующем этапе задачей является обучение студентов принципам использования методов теории представлений в решении задач теоретической и математической физики. Несмотря на то, что курс является лекционным, он предполагает разбор многих задач, необходимых для понимания основополагающих конструкций и трюков.
Программа
- Введение в теорию групп. Основные понятия и определения: группа, подгруппа, нормальная подгруппа, стабилизатор, орбиты. Примеры матричных реализаций групп GL(N), SL(N), SO(N), SU(N). Орбиты присоединенного действия группы GL(N). Вычисление размерности таких орбит. Понятие гладкого многообразия. Определение группы Ли. Примеры.
- Введение в алгебры Ли. Определение. Тождество Якоби, Структурные константы. Примеры алгебр Ли gl(N), sl(N), so(N), su(N). Матричная реализация. Реализация дифференциальными операторами. Вычисление структурных констант для алгебры Ли sl(N) в матричной реализации в стандартном базисе, а также для sl(2) в базисе матриц Паули. Некоммутативный тор, генераторы некоммутативного тора и матричное представление для них. Группа Гейзенберга. Базис sin-алгебры для алгебры Ли gl(N). Вычисление структурных констант для алгебры Ли gl(N) в базисе sin-алгебры.
- Тензоры и дифференциальные формы. Тензорное произведение векторных пространств. Проекторы, оператор перестановки. Свойства оператора перестановки и вычисление этого оператора в разных базисах. Скобки Пуассона-Ли, R-матричная запись, оператор перестановки как простейшая R-матрица. Тензоры на многообразиях. Дифференциальные формы. Внешний дифференциал. Определения и свойства: умножение форм, применение внешнего дифференцирования. Запись уравнений Максвелла в ковариантной форме и в терминах внешних форм. Формула Стокса.
- Простейшие представления алгебр Ли. Присоединенное представление алгебр Ли. Представление su(2) со старшим весом J. Модули Верма для алгебры Ли sl(2,C). Разложения тензорного произведения представлений на неприводимые. Коэффициенты Клебша-Гордона. Вычисление коэффициентов Клебша-Гордона для произведения представлений алгебры Ли su(2) со старшими весами J1=½ и J2=½, а также J= ½ и J=1.
- Системы корней и классификация простых алгебр Ли. Идеалы алгебрах Ли, форма Киллинга. Базис Картана-Вейля. Матрица Картана. Системы корней простых алгебр Ли. Группа Вейля. Характеры. Классификация простых алгебр Ли.
- Расслоения. Понятие главного расслоения со структурной группой G. Определение и примеры. Локальный гомеоморфизм (тривиализация), функции переклейки. Пример расслоения Хопфа. Векторное расслоение ассоциированное с главным G-расслоением. Пример касательного расслоения. Сечения векторного расслоения. Тривиальные и нетривиальные расслоения. Связность в векторном расслоении. Кривизна связности. Плоские связности.
- Основы гамильтоновой механики. Пуассоновы структуры: определение и примеры. Скобки Пуассона, задающие движение в магнитном поле и трение. Гамильтоновы векторные поля. Сохранение пуассоновых структур на гамильтоновых потоках. Симплектическая структура. Теорема Нетер и отображение момента.
- Примеры бесконечномерных и квантовых групп. Аффинные алгебры Ли. Алгебра Вирасоро. Группы и алгебры петель. Центральное расширение. Универсальная обертывающая алгебр Ли. Отображение момента для кокасательного расслоения к группе петель L(GL(N)) с центральным расширением. Коумножение и кокоммутативность. Моноиды. Квантовые группы: определение и примеры. U_q(sl(2)).
Литература
- Ж.-П.Серр, Алгебры и группы Ли.
- М.В.Терентьев, Введение в теорию элементарных частиц.
- Э.Б.Винберг, А.Л.Онищик, Семинар по группам Ли и алгебраическим группам.
- А.Барут, Р.Рончка, Теория представлений групп и ее приложения.
- А.А.Болибрух, Фуксовы дифференциальные уравнения и голоморфные расслоения.
- Г.Бернстейн, Э.Филлипс, Расслоения и квантовая теория, УФН, том 136, вып. 4, 1982
- Б.А.Дубровин, С.П.Новиков, А.Т.Фоменко, Современная геометрия.
- J.Fuchs, Ch.Schweigert, Symmetries, Lie Algebras and Representations.
- Л.А.Тахтаджян, Л.А.Фаддеев, Гамильтонов подход в теории солитонов.
- С.Н.Вергелес, Лекции по теории гравитации.
- П.И.Голод, А.У.Климык, Математические основы теории симметрии.
- М.Готто, Ф.Гроссханс, Полупростые алгебры Ли.