Теория групп и представлений - 2 курс, 4 семестр

Цели и задачи

Цель курса - освоение студентами фундаментальных знаний в области теории групп, изучение различных групповых структур, порождающих симметрии в физических и математических задачах. Помимо самой теории групп и представлений курс предполагает введение в такие необходимые разделы математики как дифференциальная геометрия, тензорный анализ, а также элементы топологии и алгебраической геометрии. Основным критерием успешного освоения курса является формирование базовых знаний в области дифференциальной геометрии и теории групп и алгебр Ли. На следующем этапе задачей является обучение студентов принципам использования методов теории представлений в решении задач теоретической и математической физики. Несмотря на то, что курс является лекционным, он предполагает разбор многих задач, необходимых для понимания основополагающих конструкций и трюков.

Программа

  1. Введение в теорию групп. Основные понятия и определения: группа, подгруппа, нормальная подгруппа, стабилизатор, орбиты. Примеры матричных реализаций групп GL(N), SL(N), SO(N), SU(N). Орбиты присоединенного действия группы GL(N). Вычисление размерности таких орбит. Понятие гладкого многообразия. Определение группы Ли. Примеры.
  2. Введение в алгебры Ли. Определение. Тождество Якоби, Структурные константы. Примеры алгебр Ли gl(N), sl(N), so(N), su(N). Матричная реализация. Реализация дифференциальными операторами. Вычисление структурных констант для алгебры Ли sl(N) в матричной реализации в стандартном базисе, а также для sl(2) в базисе матриц Паули. Некоммутативный тор, генераторы некоммутативного тора и матричное представление для них. Группа Гейзенберга. Базис sin-алгебры для алгебры Ли gl(N). Вычисление структурных констант для алгебры Ли gl(N) в базисе sin-алгебры.
  3. Тензоры и дифференциальные формы. Тензорное произведение векторных пространств. Проекторы, оператор перестановки. Свойства оператора перестановки и вычисление этого оператора в разных базисах. Скобки Пуассона-Ли, R-матричная запись, оператор перестановки как простейшая R-матрица. Тензоры на многообразиях. Дифференциальные формы. Внешний дифференциал. Определения и свойства: умножение форм, применение внешнего дифференцирования. Запись уравнений Максвелла в ковариантной форме и в терминах внешних форм. Формула Стокса.
  4. Простейшие представления алгебр Ли. Присоединенное представление алгебр Ли. Представление su(2) со старшим весом J. Модули Верма для алгебры Ли sl(2,C). Разложения тензорного произведения представлений на неприводимые. Коэффициенты Клебша-Гордона. Вычисление коэффициентов Клебша-Гордона для произведения представлений алгебры Ли su(2) со старшими весами J1=½ и J2=½, а также J= ½ и J=1.
  5. Системы корней и классификация простых алгебр Ли. Идеалы алгебрах Ли, форма Киллинга. Базис Картана-Вейля. Матрица Картана. Системы корней простых алгебр Ли. Группа Вейля. Характеры. Классификация простых алгебр Ли.
  6. Расслоения. Понятие главного расслоения со структурной группой G. Определение и примеры. Локальный гомеоморфизм (тривиализация), функции переклейки. Пример расслоения Хопфа. Векторное расслоение ассоциированное с главным G-расслоением. Пример касательного расслоения. Сечения векторного расслоения. Тривиальные и нетривиальные расслоения. Связность в векторном расслоении. Кривизна связности. Плоские связности.
  7. Основы гамильтоновой механики. Пуассоновы структуры: определение и примеры. Скобки Пуассона, задающие движение в магнитном поле и трение. Гамильтоновы векторные поля. Сохранение пуассоновых структур на гамильтоновых потоках. Симплектическая структура. Теорема Нетер и отображение момента.
  8. Примеры бесконечномерных и квантовых групп. Аффинные алгебры Ли. Алгебра Вирасоро. Группы и алгебры петель. Центральное расширение. Универсальная обертывающая алгебр Ли. Отображение момента для кокасательного расслоения к группе петель L(GL(N)) с центральным расширением. Коумножение и кокоммутативность. Моноиды. Квантовые группы: определение и примеры. U_q(sl(2)).

Литература