Введение в теорию струн - 5 курс, 9 семестр

Цели и задачи

Целью дисциплины является формирование у учащихся представления о наиболее развитом подходе к построению квантовой гравитации – теории струн, о его методах, достижениях и проблемах.

Задачами дисциплины являются:

Программа

  1. Элементы гомологической алгебры
    Определение комплекса. Примеры из дифференциальной геометрии Определение когомологий комплекса. Вычисление когомологий в простейших случаях. Определение оператора гомотопии комплекса как оператора, антикоммутатор которого с дифференциалом дает обратимый оператор. Отсутствие когомологий в комплексах, имеющих оператор гомотопии. Уравнение Маурера-Картана и его пертурбативное решение. Связь с древесными диаграммами Фейнмана.

  2. Общие сведения о топологических теориях поля (в слабом смысле).
    Определение основного объекта в подходе Дирака-Сигала к квантовой теории поля в произвольной размерности. Понятие геометрических данных. Квантовая механика как одномерный пример. Определение топологической теории поля как теории поля с суперпространством геометрических данных, в котором основной объект принимает значение в тензорном произведении комплексов. Замкнутость относительно тотального дифференциала как определяющее свойство основного объекта. Комплексы как примеры топологической квантовой механики.

  3. Поляковская топологическая квантовая механика и диаграммы Фейнмана
    Определение общих диаграмм Фейнмана как результата асимптотического разложения интеграла, близкого к гауссовому. Введение швингеровских времен на графе Фейнмана и интегральное представление для вклада графа. Интерпретация ультрафиолетовой расходимости как расходимости интеграла в области малых времен Швингера для бесконечномерного интеграла. Каноническое построение топологической квантовой механики по произвольной с помощью тензорного умножения пространства состояний на двумерное пространство. Интерпретация полученной конструкции с помощью одномерных духов Полякова. Интерпретация решений линеаризованных уравнений теории поля как когомологий дифференциала Полякова на пространстве состояний. Изучение теории скалярного поля с полиномиальным взаимодействием в качестве примера. Описание вклада диаграммы Фейнмана как интеграла основного объекта топологической квантовой механики Полякова по пространству времен Швингера.

  4. Виттеновская топологическая квантовая механика и диаграммы Фейнмана в теории Черна-Саймонса.
    Теория Черна-Саймонса как калибровочная теория. Фиксация лоренцовой калибровки. Интерпретация теории Черна-Саймонса по Александрову-Концевичу-Шварцу-Заборонскому как интеграла по пространству отображений в алгебру Ли с обращенной четностью. Объединение духов и калибровочных полей в единое суперполе (так называемая «русская формула»). Определение виттеновской топологической квантовой механики. Интерпретация классических уравнений движения теории Черна-Саймонса (уравнений плоской связности) как уравнения Маурера-Картана, описание его пертурбативного решения, интерпретация фиксации калибровки как гомотопии. Интегральное представление вклада диаграммы Фейнмана в теории Черна-Саймонса суперполевом формализме как интеграла основного объекта виттеновской топологической квантовой механики по пространству времен Швингера. Определение интеграла основного объекта общей топологической квантовой механики по пространству параметров Швингера и интерпретация конструкций Полякова и Виттена как его частных случаев.

  5. Комплексные структуры и конформные структуры
    Определение почти комплексной структуры на гладком четномерном многообразии. Пучок голоморфных функций. Интегрируемость почти комплексных структур. Описание через дифференциалы Бельтрами. Уравнение Кодаиры-Спенсера как уравнение Маурера-Картана. Действие гладких диффеоморфизмов и эквивалентность комплексных структур. Пространство модулей комплексных структур. Размерность пространства модулей комплексных структур на двумерных многообразиях. Пространство модулей комплексных структур на двумерных многообразиях с отмеченными точками, его размерность, явное описание на примере поверхностей нулевого рода. Эквивалентность конформных и комплексных структур в двумерии. Конформная интерпретация поверхностей с отмеченными точками. Сравнение модулей комплексных структур и пространства швингеровских времен на графе. Разбор комплексных структур на торе в качестве примера. Объяснение исчезновения ультрафиолетовых расходимостей.

  6. Конформные теории
    Общие свойства конформных теорий. Теория свободного скалярного поля как пример. Объяснение возникновения аномальной размерности экспоненциального поля через перенормировку наблюдаемой.
    Тензор энергии-импульса в теории свободного скалярного поля. Второй вывод аномальной размерности экспоненциальной наблюдаемой.
    Теория свободного комплексного кирального фермиона спина 1/2. Общая формула для корреляторов на сфере. Построение тензора энергии-импульса.
    Спиноры в разных измерениях. Спин-операторы как спиноры.
    Токи Каца-Муди в теориях свободного бозона и фермиона, их операторное разложение. Взаимодействие теорий, обладающих токами Каца-Муди с калибровочным полем. Киральная аномалия и статсумма как сечение линейного расслоения на пространстве модулей голоморфных расслоений.
    Операторное разложение тензоров энергии-импульса и алгебра Вирасоро. Взаимодействие конформной теории с дифференциалами Бельтрами и интерпретация статсуммы в конформной теории как сечения расслоения на пространстве модулей комплексных структур.
    Бозонизация фермионных наблюдаемых. Сравнение формул.
    Корреляторы в в-с системе произвольного спина. Бозонизация тензора энергии-импульса. Формула для центрального заряда.
    Струна с окружностью в качестве таргет-пространства. Т-дуальность. Зеркальная симметрия для прямоугольного тора.

  7. Общая топологическая струна, поляковская и виттеновская струна как примеры.
    Определение общей топологической струны как конформной теории с нечетной симметрией-дифференциалом и с точным тензором энергии-импульса. Обобщенная амплитуда в общей топологической струне как замкнутая форма на пространстве модулей, аналогия с основным объектом в топологической квантовой механике.
    Поляковская струна как пример топологической струны, построение дифференциала, критическая размерность.
    Структура основного объекта – обобщенной амплитуды – в теории поляковской струны. Вертексные операторы и их свойства. Интерпретация интеграла по пространству модулей сферы с отмеченными точками в коррелятор проинтегрированных наблюдаемых.
    Линеаризованные уравнения движения в теории поля Калба-Рамона и эйнштейновской гравитации над плоским фоном.
    Когомологии дифференциала в поляковской струне. Уравнение массовой оболочки и поперечность. Совпадение пространства решений линеаризованных уравнений движения в теории Калба-Рамона и Эйнштейна с когомологиями. Точные вертексные операторы, симметрия уравнения Калба-Рамона и линеаризованное действие диффеоморфизмов. Формализм первого порядка в теории струны, деформации фона и уравнение Маурера-Картана для сохранения конформности теории.
    Виттеновская топологическая струны (теория Громова-Виттена), ее поля, вертексные операторы, обобщенные амплитуды и уравнение ВДВВ.

  8. Открытые струны
    Граничные условия и факторы Чана-Патона в общей теории струны.
    Граничные условия Неймана и Дирихле в поляковской струне.
    Переход граничных условий Неймана и Дирихле друг в друга при Т-дуальности, Д-браны.
    Вертексные операторы и их когомологии в открытой поляковской струне как решения уравнения Максвелла.
    Стопка Д-бран, интерпретация эффекта Хиггса и W-бозона на языке Д-бран.
    Представление о виттеновской струне и о теории типа В, А-бесконечность структура, гомологическая зеркальная симметрия по Концевичу.

  9. Суперструна
    Суперструна по Нивье-Шварцу-Рамону, описание дифференциала, безмассовых полей, уравнений движения, суперсимметрии.
    Вычисление критической размерности.
    Чистота спиноров в размерности 10.
    Введение в струну Берковица.

Литература